Qui di seguito elencheremo tutti i possibili integrali impropri notevoli (o integrali impropri fondamentali), che si riveleranno importantissimi nella risoluzione degli esercizi e soprattutto nello studio della convergenza. In realtà considereremo dei casi particolari, ma fondamentali per lo studio del comportamento degli integrali impropri .
Per studiare la convergenza, usiamo il criterio del confronto asintotico per integrali impropri di seconda specie e in particolare per confronto asintotico con gli integrali impropri notevoli, vediamo che c’è convergenza se cioè . Dato che ci troviamo nel caso , l’integrale converge per . 5) Se , l’integrale diverge.
Integrali impropri in R^n. Condizioni di integrabilità per 1/||x||^alfa al finito e all’infinito. Superfici in R^3: superficie elementare, parametrizzazione, punto interno e punto di bordo di una superficie, superfici cartesiane. Parametrizzazione della sfera e del toro. Piano tangente, versore normale, superficie orientabile. …
Per studiare la convergenza dell’integrale. osserviamo che esso presenta due punti problematici, uno al finito , uno all’infinito.. Facciamo riferimento alla tabella di confronto asintotico con gli integrali impropri notevoli, non prima però di effetturare lo studio asintotico dell’integranda. Per l’integranda soddisfa la seguente equivalenza asintotica, Quando abbiamo a che fare con gli integrali impropri talvolta è necessario capire a priori se essi convergono o meno, soprattutto quando il calcolo esplicito non è agevole o addirittura impossibile.Per moltissime funzioni, sebbene ammettano primitive, non riusciamo a determinare l’integrale indefinito con le tecniche note!. In tutti questi casi intervengono i criteri di.
Per il calcolo di integrali del tipo `int f(x) dx`, talvolta può essere vantaggioso sostituire alla variabile d’integrazione x una funzione di un’altra variabile t, purché tale funzione sia derivabile e invertibile. Ponendo `x=g(t)`, da cui deriva `dx=g ‘(t) dt`, si ha che: `int f(x) dx = int f[g(t)] * g ‘ (t) dt`, Integrali impropri . Estensioni dell’integrale ai casi di i) funzioni limitate in intervalli non limitati ii) funzioni definite in intervalli limitati ma non limitate in un intorno di uno degli estremi iii) funzioni che combinano i casi precedenti. Definizione nel caso di funzioni definite in una semiretta.
Criteri per lo studio della convergenza degli integrali impropri : Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Esempi ed esercizi. – Successioni numeriche. … ( 1+x)^{alfa }, log(1+x), arctg x. Sviluppo in Serie di Taylor di alcune funzioni utilizzando gli sviluppi elementari.
Integrali impropri . Estensioni dell’integrale ai casi di i) funzioni limitate in intervalli non limitati ii) funzioni definite in intervalli limitati ma non limitate in un intorno di uno degli estremi iii) funzioni che combinano i casi precedenti. Definizione nel caso di funzioni definite in una semiretta.
